반으로 자르면 그대로 유지되는 종횡비
A4 종이를 짧은 쪽으로 반으로 접으면 A5 시트가 되는데, 같은 형태이면서 넓이는 절반입니다. 다시 접으면 A6이 되는데, 여전히 같은 형태입니다. 이 자기유사성은 210과 297이라는 특정 숫자들의 우연이 아닙니다. 이는 전체 ISO 216 A 계열의 정의적 특성이며, 오직 하나의 특정한 종횡비에서만 작동합니다.
유도: 왜 √2가 유일한 종횡비인가
시트의 짧은 쪽을 a, 긴 쪽을 b라고 하고, 종횡비를 r = b/a라고 합시다. 긴 쪽으로 반을 자르면: 각 절반은 a (변하지 않음)와 b/2의 치수를 갖습니다. 반으로 잘린 시트가 원래 시트와 같은 형태이려면, 긴 쪽을 짧은 쪽으로 나눈 값이 다시 r과 같아야 합니다. 2 미만의 모든 종횡비에서 a > b/2이므로, 반으로 잘린 시트의 긴 쪽은 이제 a이고 짧은 쪽은 b/2이므로, 새로운 종횡비는 a ÷ (b/2) = 2a/b입니다. 이것을 원래의 종횡비와 같다고 놓으면:
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
다른 어떤 종횡비도 반으로 자를 때 자기 자신을 재현하지 않습니다. √2 ≈ 1.41421은 이 연산의 유일한 고정점이며, 이것이 전체 A 계열 — A0부터 A10까지 — 이 모든 크기에서 하나의 형태를 유지하는 이유입니다. 각 단계에서 새로운 형태를 선택할 필요가 없습니다.
A0: 기억된 길이가 아닌 면적으로 정의됨
ISO 216은 A0을 치수가 아닌 면적으로 정의합니다: √2 종횡비에서 정확히 1 m²입니다. a × b = 1과 b = a√2를 풀면 a²√2 = 1이 되므로, a = 2−1/4 ≈ 0.840896 m이고 b = 21/4 ≈ 1.189207 m입니다. 가장 가까운 밀리미터로 반올림하면, A0은 841 × 1189 mm입니다. 계열의 모든 더 작은 크기는 긴 쪽을 반복해서 반으로 자르고 밀리미터로 내림하여 생성됩니다. 이것이 A4의 실제 면적인 210 × 297 mm = 62,370 mm² (0.06237 m²)이 1 m²를 연속적으로 정확히 반으로 자르면 얻게 될 "정확한" 1/16 m² (0.0625 m²)보다 약간 작은 이유입니다: 각 단계에서 전체 밀리미터로 반올림하면 작은 의도적인 손실이 축적됩니다.
| 크기 | 치수 | 면적 |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1.000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0.500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0.249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0.125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0.0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0.0311 m² |
1786년 편지에서 1975년 표준까지
√2 특성은 적어도 1786년 독일의 물리학자 Georg Christoph Lichtenberg가 보낸 편지에서 이 자기보존 종횡비를 정확히 설명하면서 기록되었습니다. 베를린 표준 연구소에서 일한 Walter Porstmann을 통해 종이 표준이 되었으며, 그의 제안은 1922년 독일 표준 DIN 476이 되었습니다. 이것은 1975년 처음 발행된 국제 ISO 216 표준의 직접적인 선조입니다. 오늘날 세계 대부분은 ISO 216 크기를 사용합니다. 북미는 주요 예외입니다.
US Letter: 그러한 유도가 없는 형태
US Letter는 8.5 × 11 인치이며, 이는 215.9 × 279.4 mm입니다. 그 종횡비는 11 ÷ 8.5 = 1.2941이며, √2 (1.41421)와는 전혀 다릅니다. 8.5 × 11 뒤에는 동등한 명확한 유도가 없습니다: 그 치수는 공식이 아니라 미국 식민지와 초기 연방 시대에 사용되던 손으로 만드는 제지 틀의 크기에서 유래합니다. 이 크기는 1980년에 미국 정부 문서의 표준으로 공식적으로 확정되었으며, 평행하게 사용되던 약간 다른 "Government Letter" 형식을 대체했습니다. Letter의 종횡비가 자기보존하는 것이 아니기 때문에, 반으로 접어도 자신의 형태를 재현하지 않습니다: 8.5 × 11 인치 시트의 절반은 5.5 × 8.5 인치이며, 그 종횡비는 8.5 ÷ 5.5 = 1.545입니다. 이는 세 번째, 또 다른 다른 형태이며, 축소된 Letter가 아닙니다.
B와 C 계열: 같은 개념, 변형됨
ISO 216은 또한 B 계열과 관련된 C 계열을 정의하며, 둘 다 동일한 √2 논리로 구축됩니다. 각 B 크기는 매칭되는 A 크기와 그 다음 더 큰 크기의 기하평균입니다 (B1은 A1과 A0 사이에 있고, 이런 식으로 계속됩니다). 이것은 B 계열을 포스터, 여권 및 A 시트와 정확히 일치하는 것보다 두 A 크기 사이의 크기가 필요한 다른 항목에 유용하게 만듭니다. ISO 269에서 정의된 C 계열은 같은 규칙을 따라 봉투 크기를 생성합니다: C4 봉투 (229 × 324 mm)는 펴진 A4 시트를 작은 여백으로 보유하도록 크기가 정해지며, C5 봉투는 반으로 한 번 접힌 A4 시트를 보유합니다. 세 계열 모두 하나의 종횡비를 공유합니다. 정확히 이 종횡비가 시트, 봉투 및 접힌 삽입물이 모두 비례적으로 서로 관련된 상태를 유지하는 유일한 종횡비이기 때문입니다.
인쇄의 결과
A4는 8.268 × 11.693 인치입니다. Letter는 8.5 × 11 인치입니다. 둘은 충분히 가까워서 교환 가능해 보이지만 실제 문제를 야기할 정도로 다릅니다: Letter는 더 넓지만 (8.5 인치 대 8.268 인치) 더 짧습니다 (11 인치 대 11.693 인치). A4 문서를 100% 배율로 Letter 용지에 인쇄하면 페이지 하단에서 대략 0.693 인치가 잘려집니다. Letter 문서를 A4에 인쇄하면 대신 하단에 대략 0.693 인치의 빈 여백이 남습니다. 모든 오피스 소프트웨어의 모든 "맞춤 인쇄" 또는 "페이지에 맞춤" 옵션은 이 정확한 불일치를 해결하기 위해 존재합니다. A 계열과 달리, 모든 크기가 다른 모든 크기의 축소 복사본인 곳에서, A4와 Letter는 서로의 축소 복사본이 아닙니다 — 그들은 크기가 우연히 비슷한 두 개의 다른 형태입니다.