Соотношение сторон, которое сохраняется при разрезании пополам
Если сложить лист A4 пополам по короткому краю, получится лист A5: той же формы, половина площади. Сложите ещё раз — получится A6, всё той же формы. Эта самоподобность — не совпадение конкретных чисел 210 и 297 — это определяющее свойство всей серии A по ISO 216, и работает оно только для одного конкретного соотношения сторон.
Вывод: почему √2 — единственное соотношение, которое работает
Пусть лист имеет короткую сторону a и длинную сторону b с соотношением сторон r = b/a. Разрежем его пополам поперек длинной стороны: каждая половина имеет размеры a (неизменный) и b/2. Чтобы половина листа имела ту же форму, что и оригинал, отношение её длинной стороны к короткой должно снова равняться r. Поскольку a > b/2 для любого соотношения меньше 2, длинная сторона половины листа теперь равна a, а короткая равна b/2, что даёт новое соотношение a ÷ (b/2) = 2a/b. Приравняв это исходному соотношению:
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
Никакое другое соотношение не воспроизводит себя при разрезании. √2 ≈ 1,41421 — единственная неподвижная точка этой операции, поэтому вся серия A — от A0 до A10 — имеет одну и ту же форму при всех размерах, вместо того чтобы на каждом этапе приходилось выбирать новую форму.
A0: фиксирован площадью, а не запомненной длиной
ISO 216 определяет A0 по площади, а не по размерам: ровно 1 м², при соотношении √2. Решая уравнение a × b = 1 с b = a√2, получаем a²√2 = 1, откуда a = 2−1/4 ≈ 0,840896 м и b = 21/4 ≈ 1,189207 м. Округлённый до ближайшего миллиметра, A0 равен 841 × 1189 мм. Каждый меньший размер в серии создаётся путём многократного разрезания длинной стороны пополам и округления вниз до миллиметра, поэтому истинная площадь A4, 210 × 297 мм = 62 370 мм² (0,06237 м²), немного меньше «точной» 1/16 м² (0,0625 м²), которую дали бы четыре последовательных точных разрезания 1 м² пополам: округление до целого миллиметра на каждом этапе накапливает небольшой, намеренный убыток.
| Размер | Размеры | Площадь |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 мм | 1,000 м² |
| A1 | 594 × 841 мм | 0,500 м² |
| A2 | 420 × 594 мм | 0,249 м² |
| A3 | 297 × 420 мм | 0,125 м² |
| A4 | 210 × 297 мм | 0,0624 м² |
| A5 | 148 × 210 мм | 0,0311 м² |
От письма 1786 года к стандарту 1975 года
Свойство √2 было отмечено ещё в 1786 году в письме немецкого физика Георга Кристофа Лихтенберга, описавшего именно это самосохраняющееся соотношение. Оно стало стандартом бумаги благодаря Вальтеру Порстманну, работавшему в Берлинском институте стандартов, чьё предложение стало немецким стандартом DIN 476 в 1922 году — прямым предшественником международного стандарта ISO 216, впервые опубликованного в 1975 году. Большинство стран мира используют размеры ISO 216 сегодня; Северная Америка является главным исключением.
US Letter: форма без такого вывода
US Letter равен 8,5 × 11 дюймов, то есть 215,9 × 279,4 мм. Его соотношение равно 11 ÷ 8,5 = 1,2941, что никак не близко к √2 (1,41421). Нет никакого эквивалентного чёткого вывода для 8,5 × 11: размеры происходят от размера форм для ручного изготовления бумаги, использовавшихся в американский колониальный период и ранний федеральный период, а не из какой-либо формулы, и размер был официально зафиксирован как стандарт для документов США только в 1980 году, заменив слегка отличающийся формат «Government Letter», который использовался параллельно. Поскольку соотношение Letter не является самосохраняющимся, складывание его пополам не воспроизводит его собственную форму: половина листа 8,5 × 11 дюймов равна 5,5 × 8,5 дюйма, соотношение 8,5 ÷ 5,5 = 1,545 — снова третья, совсем другая форма, а не уменьшенная Letter.
Серии B и C: та же идея, сдвинутая
ISO 216 также определяет серию B и связанную с ней серию C, обе основанные на одной и той же логике √2. Каждый размер серии B является геометрическим средним соответствующего размера серии A и следующего, более крупного (B1 находится между A1 и A0, и так далее), что делает серию B полезной для плакатов, паспортов и других предметов, которые требуют размер между двумя размерами A, а не один, который точно соответствует листу A. Серия C, определённая в ISO 269, следует тому же правилу, чтобы создать размеры конвертов: конверт C4 (229 × 324 мм) рассчитан на то, чтобы вместить развёрнутый лист A4 с небольшим запасом, а конверт C5 вмещает лист A4, сложенный один раз пополам. Все три серии имеют одно и то же соотношение сторон именно потому, что это единственное соотношение, которое позволяет листу, конверту и вложенной складной части оставаться пропорционально связанными друг с другом.
Последствие для печати
A4 равен 8,268 × 11,693 дюйма; Letter равен 8,5 × 11 дюймов. Эти две формы достаточно близки, чтобы выглядеть взаимозаменяемыми, и в то же время достаточно отличаются, чтобы вызвать реальную проблему: Letter шире (8,5 дюйма против 8,268 дюйма), но короче (11 дюймов против 11,693 дюйма). Печать документа A4 в масштабе 100% на бумаге Letter обрезает примерно 0,693 дюйма от нижней части страницы; печать документа Letter на A4 оставляет примерно 0,693 дюйма чистого поля внизу вместо этого. Каждая опция «Печать подогнанного» или «Масштаб страницы» в офисном программном обеспечении существует во многом для того, чтобы скрыть это точное несоответствие, потому что в отличие от серии A, где каждый размер является масштабной копией каждого другого, A4 и Letter вообще не являются масштабными копиями друг друга — они две разные формы, которые просто случайно близко совпадают по размеру.