纸张尺寸：A4、信纸和根号二

折叠后保持的比例

将一张 A4 纸沿短边折叠，得到一张 A5 纸：形状相同，面积减半。再折叠一次，就是 A6，形状仍然相同。这种自相似性不是 210 和 297 这两个特定数字的巧合—这是整个 ISO 216 A 系列的定义特性，而且它只对一种特定的宽高比有效。

推导过程：为什么只有√2这个比例才有效

设纸张的短边为 a，长边为 b，宽高比 r = b/a。沿长边折叠一半：每半张纸的尺寸为 a（不变）和 b/2。如果半张纸的形状与原纸张相同，其长边除以短边必须再次等于 r。由于对于任何小于 2 的比例，a > b/2，所以半张纸的长边现在是 a，短边是 b/2，得到的新比例为 a ÷ (b/2) = 2a/b。将其设置为原始比例的相等值：

2a/b = b/a  ⇒  2a² = b²  ⇒  b/a = √2

没有其他比例在折叠时能复现自己。√2 ≈ 1.41421 是这个操作唯一的不动点，这就是为什么整个 A 系列—从 A0 到 A10—在每种尺寸下都是一个形状，而不必在每一步都选择一个新形状。

A0：由面积确定，而非由记忆的长度确定

ISO 216 由面积而非尺寸定义 A0：恰好 1 m²，保持√2的比例。解方程 a × b = 1，其中 b = a√2，得到 a²√2 = 1，因此 a = 2^−1/4 ≈ 0.840896 m，b = 2^1/4 ≈ 1.189207 m。四舍五入到最近的毫米，A0 是 841 × 1189 mm。序列中的每个较小尺寸是通过反复将长边减半并向下舍入到毫米来生成的，这就是为什么 A4 的真实面积（210 × 297 mm = 62,370 mm²，即 0.06237 m²）略小于 1 m² 连续精确减半四次后的"精确"1/16 m²（0.0625 m²）：在每一步舍入到整数毫米会积累一个微小的、有意的损失。

从 1786 年的信件到 1975 年的标准

√2的性质至少在 1786 年就被注意到了，在德国物理学家格奥格·克里斯托夫·李希滕伯格的一封信中，他正是描述了这种自我保持的比例。它通过在柏林标准化机构工作的沃尔特·波尔施曼的提议成为纸张标准，他的提议在 1922 年成为德国标准 DIN 476—国际 ISO 216 标准的直接前身，首次发布于 1975 年。如今世界上大多数地区使用 ISO 216 尺寸；北美是主要的例外。

美国信纸：没有这样推导基础的形状

美国信纸是 8.5 × 11 英寸，即 215.9 × 279.4 mm。其比例是 11 ÷ 8.5 = 1.2941，远不及√2（1.41421）。8.5 × 11 英寸的尺寸没有等价的简洁推导基础：这些尺寸来自美国殖民地和联邦初期手工造纸用模具的尺寸，而不是来自任何公式，该尺寸直到 1980 年才被正式锁定为美国政府文件的标准，取代了之前一直并行使用的略有不同的"政府信纸"格式。由于信纸的比例不是自我保持的，将其折叠一半不会复现其自身的形状：半张 8.5 × 11 英寸纸的尺寸是 5.5 × 8.5 英寸，宽高比为 8.5 ÷ 5.5 = 1.545—再次出现了第三种不同的形状，而不是缩小的信纸。

B 系列和 C 系列：相同的理念，但有所偏移

ISO 216 还定义了 B 系列和相关的 C 系列，两者都建立在相同的√2逻辑之上。每个 B 尺寸是相应 A 尺寸和下一个较大尺寸的几何平均值（B1 位于 A1 和 A0 之间，依此类推），这使得 B 系列对于需要两个 A 尺寸之间的尺寸而不是与 A 纸张完全匹配的海报、护照和其他物品很有用。C 系列在 ISO 269 中定义，遵循相同的规则以生成信封尺寸：C4 信封（229 × 324 mm）的尺寸足以容纳未折叠的 A4 纸张并留有小边距，C5 信封可以容纳折叠一半的 A4 纸张。所有三个系列都共享一个宽高比，正是因为这个比例是唯一允许纸张、信封和折叠的插页都保持彼此比例相关的比例。

打印的影响

A4 是 8.268 × 11.693 英寸；信纸是 8.5 × 11 英寸。两者足够接近看起来可以互换，但又足够不同以造成真实的问题：信纸更宽（8.5 英寸对 8.268 英寸）但更短（11 英寸对 11.693 英寸）。以 100% 的比例将 A4 文档打印到信纸上会从页面底部裁剪掉约 0.693 英寸；将信纸文档打印到 A4 上则会在底部留下约 0.693 英寸的空白边距。办公软件中每个"适配页面"或"缩放到页面"选项的存在主要是为了弥补这个确切的不匹配，因为与 A 系列不同，其中每个尺寸都是其他每个尺寸的缩放副本，A4 和信纸根本不是彼此的缩放副本—它们是恰好接近相同大小的两个不同形状。