نسبة تبقى محفوظة عند قطع الورقة إلى النصف
قم بطي ورقة A4 إلى النصف عبر الحافة القصيرة والنتيجة ستكون ورقة A5: نفس الشكل، نصف المساحة. قم بطيها مرة أخرى وستصبح A6، وتحتفظ بنفس الشكل. هذا التشابه الذاتي ليس من قبيل الصدفة في الأرقام المحددة 210 و 297 — بل هو الخاصية المحددة لسلسلة ISO 216 A بأكملها، وهي تعمل فقط بنسبة عرض إلى ارتفاع واحدة محددة.
الاشتقاق: لماذا √2 هي النسبة الوحيدة التي تعمل
لنفترض أن الورقة لها ضلع قصير a وضلع طويل b، مع نسبة عرض إلى ارتفاع r = b/a. قم بقطعها إلى النصف عبر الضلع الطويل: كل نصف له أبعاد a (دون تغيير) و b/2. لكي تكون ورقة النصف بنفس شكل الأصلية، يجب أن تساوي نسبة الضلع الطويل إلى الضلع القصير مرة أخرى r. نظراً لأن a > b/2 لأي نسبة أقل من 2، فإن الضلع الطويل لورقة النصف هو الآن a والضلع القصير هو b/2، مما يعطي نسبة جديدة قدرها a ÷ (b/2) = 2a/b. تعيين ذلك مساوياً للنسبة الأصلية:
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
لا توجد نسبة أخرى تعيد إنتاج نفسها عند القطع إلى النصف. √2 ≈ 1.41421 هي نقطة التثبيت الفريدة لهذه العملية، وهذا هو السبب في أن سلسلة A بأكملها — من A0 إلى A10 — هي شكل واحد بكل حجم، بدلاً من الاضطرار إلى اختيار شكل جديد في كل خطوة.
A0: محدد حسب المساحة، وليس حسب طول محفوظ
يعرّف ISO 216 الحجم A0 حسب المساحة وليس حسب الأبعاد: 1 m² بالضبط، بنسبة √2. حل a × b = 1 مع b = a√2 يعطي a²√2 = 1، إذاً a = 2−1/4 ≈ 0.840896 m و b = 21/4 ≈ 1.189207 m. عند التقريب لأقرب ملليمتر، A0 هو 841 × 1189 mm. يتم إنشاء كل حجم أصغر في السلسلة بقطع الضلع الطويل بشكل متكرر وتقريبه لأسفل إلى الملليمتر، وهذا هو السبب في أن المساحة الحقيقية للـ A4، 210 × 297 mm = 62,370 mm² (0.06237 m²)، أقل قليلاً من 1/16 m² (0.0625 m²) الذي كان سيعطيه أربع عمليات قطع دقيقة متتالية لـ 1 m²: التقريب إلى ملليمتر كامل في كل خطوة يراكم فقداناً صغيراً ومقصوداً.
| الحجم | الأبعاد | المساحة |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1.000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0.500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0.249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0.125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0.0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0.0311 m² |
من رسالة 1786 إلى معيار 1975
تم ملاحظة خاصية √2 منذ عام 1786 على الأقل، في رسالة من الفيزيائي الألماني جيورج كريستوف ليختنبرج يصف هذه النسبة الحافظة للذات بالضبط. أصبحت معياراً للورق من خلال والتر بورستمان، الذي كان يعمل في معهد المعايير البرليني، وأصبحت اقتراحه المعيار الألماني DIN 476 في عام 1922 — السلف المباشر لمعيار ISO 216 الدولي، الذي تم نشره لأول مرة في عام 1975. تستخدم معظم دول العالم أحجام ISO 216 اليوم؛ أمريكا الشمالية هي الاستثناء الرئيسي.
US Letter: شكل بدون اشتقاق من هذا القبيل
US Letter هو 8.5 × 11 in، وهو ما يساوي 215.9 × 279.4 mm. نسبته هي 11 ÷ 8.5 = 1.2941، بعيدة جداً عن √2 (1.41421). لا يوجد اشتقاق نظيف مكافئ وراء 8.5 × 11: الأبعاد تنحدر من حجم قوالب صناعة الورق اليدوية المستخدمة في الفترة الاستعمارية والاتحادية المبكرة في أمريكا، بدلاً من أي صيغة، وتم حفظ الحجم رسمياً فقط كمعيار لوثائق حكومة الولايات المتحدة في عام 1980، ليحل محل صيغة "Government Letter" مختلفة قليلاً التي كانت قيد الاستخدام المتوازي. نظراً لأن نسبة Letter ليست النسبة الحافظة للذات، فإن طي نصفه لا يعيد إنتاج شكله الخاص: نصف ورقة 8.5 × 11 in هو 5.5 × 8.5 in، بنسبة 8.5 ÷ 5.5 = 1.545 — شكل ثالث مختلف مرة أخرى، وليس نسخة مصغرة من Letter.
سلسلة B و C: نفس الفكرة، منزاحة
يعرّف ISO 216 أيضاً سلسلة B وسلسلة C ذات صلة، كلاهما مبني على نفس منطق √2. كل حجم B هو الوسط الهندسي للحجم A المطابق والحجم الأكبر التالي (B1 يقع بين A1 و A0، وهكذا)، مما يجعل سلسلة B مفيدة للملصقات والجوازات وأشياء أخرى تحتاج إلى حجم بين حجمي A بدلاً من حجم يطابق ورقة A تماماً. سلسلة C، المعرفة في ISO 269، تتبع نفس القاعدة لإنتاج أحجام المظاريف: مظروف C4 (229 × 324 mm) له حجم يكفي لاستيعاب ورقة A4 مطوية بهامش صغير، والمظروف C5 يستوعب ورقة A4 مطوية مرة واحدة، إلى النصف. تشترك جميع السلاسل الثلاث في نسبة عرض إلى ارتفاع واحدة بالضبط لأن هذه النسبة هي الوحيدة التي تسمح للورقة والمظروف والإدراج المطوي أن يبقوا مرتبطين نسبياً ببعضهم البعض.
عاقبة الطباعة
A4 هو 8.268 × 11.693 in؛ Letter هو 8.5 × 11 in. الاثنان قريبان بما يكفي ليبدوا قابلين للتبديل ومختلفان بما يكفي لسبب مشكلة حقيقية: Letter أوسع (8.5 in مقابل 8.268 in) لكنه أقصر (11 in مقابل 11.693 in). طباعة وثيقة A4 بمقياس 100٪ على ورق Letter يقطع تقريباً 0.693 in من أسفل الصفحة؛ طباعة وثيقة Letter على A4 تترك تقريباً 0.693 in من الهامش الفارغ في الأسفل بدلاً من ذلك. كل خيار "طباعة حسب الحجم" أو "تحجيم حسب الصفحة" في برنامج المكتب موجود إلى حد كبير للتغطية على عدم التطابق هذا بالذات، لأنه على عكس سلسلة A، حيث كل حجم هو نسخة مصغرة من كل حجم آخر، A4 و Letter ليستا نسختين مصغرتين من بعضهما البعض على الإطلاق — فهما شكلان مختلفان يتفقان على أنهما قريبان جداً من نفس الحجم.