Un rapport qui survit à la coupe en deux
Pliez une feuille A4 en deux dans sa largeur courte et le résultat est une feuille A5 : même forme, moitié de la superficie. Pliez-la à nouveau et c'est A6, toujours de la même forme. Cette auto-similarité n'est pas une coïncidence des nombres spécifiques 210 et 297 — c'est la propriété définissante de l'ensemble de la série A d'ISO 216, et elle fonctionne uniquement pour un rapport d'aspect particulier.
La dérivation : pourquoi √2 est le seul rapport qui fonctionne
Soit une feuille avec le côté court a et le côté long b, avec un rapport d'aspect r = b/a. Coupez-la en deux selon la longueur : chaque moitié a les dimensions a (inchangé) et b/2. Pour que la demi-feuille soit de la même forme que l'original, son côté long divisé par son côté court doit à nouveau être égal à r. Puisque a > b/2 pour tout rapport inférieur à 2, le côté long de la demi-feuille est maintenant a et son côté court est b/2, donnant un nouveau rapport de a ÷ (b/2) = 2a/b. En posant cela égal au rapport original :
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
Aucun autre rapport ne se reproduit par division. √2 ≈ 1,41421 est le point fixe unique de cette opération, ce qui explique pourquoi l'ensemble de la série A — A0 jusqu'à A10 — est d'une même forme à chaque taille, plutôt qu'une nouvelle forme devant être choisie à chaque étape.
A0 : définie par l'aire, pas par une longueur mémorisée
ISO 216 définit A0 par l'aire, pas par les dimensions : exactement 1 m², au rapport √2. En résolvant a × b = 1 avec b = a√2, on obtient a²√2 = 1, donc a = 2−1/4 ≈ 0,840896 m et b = 21/4 ≈ 1,189207 m. Arrondis au millimètre le plus proche, A0 est 841 × 1189 mm. Chaque taille inférieure dans la série est générée en divisant répétement le côté long par deux et en arrondissant vers le bas au millimètre, ce qui explique pourquoi la véritable aire d'A4, 210 × 297 mm = 62 370 mm² (0,06237 m²), est légèrement inférieure à 1/16 m² « exact » (0,0625 m²) que donneraient quatre divisions exactes successives de 1 m² : l'arrondi à un millimètre entier à chaque étape accumule une petite perte, délibérée.
| Taille | Dimensions | Aire |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1,000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0,500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0,249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0,125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0,0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0,0311 m² |
D'une lettre de 1786 à une norme de 1975
La propriété √2 a été notée au moins dès 1786, dans une lettre du physicien allemand Georg Christoph Lichtenberg décrivant exactement ce rapport d'auto-préservation. Elle est devenue une norme de papier grâce à Walter Porstmann, travaillant à l'institut des normes de Berlin, dont la proposition est devenue la norme allemande DIN 476 en 1922 — l'ancêtre direct de la norme internationale ISO 216, publiée pour la première fois en 1975. La plupart du monde utilise aujourd'hui les formats d'ISO 216 ; l'Amérique du Nord est l'exception majeure.
US Letter : une forme sans telle dérivation
US Letter mesure 8,5 × 11 po, soit 215,9 × 279,4 mm. Son rapport est 11 ÷ 8,5 = 1,2941, bien loin de √2 (1,41421). Il n'existe pas de dérivation nette et propre derrière 8,5 × 11 : les dimensions descendent de la taille des moules de fabrication de papier à la main en usage pendant la période coloniale et fédérale précoce américaine, plutôt que d'une formule, et la taille n'a été formellement fixée en tant que norme pour les documents du gouvernement américain qu'en 1980, remplaçant un format légèrement différent de « Government Letter » qui avait été en usage parallèle. Parce que le rapport du Letter n'est pas celui qui se préserve lui-même, le plier en deux ne reproduit pas sa propre forme : la moitié d'une feuille de 8,5 × 11 po est 5,5 × 8,5 po, un rapport de 8,5 ÷ 5,5 = 1,545 — une troisième forme différente, pas un Letter à l'échelle réduite.
Série B et C : la même idée, décalée
ISO 216 définit également une série B et une série C associée, toutes deux construites sur la même logique de √2. Chaque taille B est la moyenne géométrique de la taille A correspondante et de la suivante plus grande (B1 se situe entre A1 et A0, et ainsi de suite), ce qui rend la série B utile pour les affiches, les passeports et autres articles qui ont besoin d'une taille entre deux formats A plutôt qu'une qui correspond exactement à une feuille A. La série C, définie dans ISO 269, suit la même règle pour produire les formats d'enveloppes : une enveloppe C4 (229 × 324 mm) est dimensionnée pour contenir une feuille A4 dépliée avec une petite marge, et une enveloppe C5 contient une feuille A4 pliée une fois, en deux. Les trois séries partagent un rapport d'aspect identique précisément parce que ce rapport est le seul qui permet à une feuille, une enveloppe et une insertion pliée de rester proportionnellement liées les unes aux autres.
La conséquence pour l'impression
A4 est 8,268 × 11,693 po ; Letter est 8,5 × 11 po. Les deux sont assez proches pour avoir l'air interchangeables et assez différents pour causer un vrai problème : Letter est plus large (8,5 po contre 8,268 po) mais plus court (11 po contre 11,693 po). L'impression d'un document A4 à 100 % à l'échelle sur papier Letter rogne environ 0,693 po en bas de la page ; l'impression d'un document Letter sur A4 laisse environ 0,693 po de marge blanche en bas à la place. Chaque option « imprimer pour adapter » ou « adapter à la page » dans les logiciels de bureautique existe en grande partie pour masquer cette incompatibilité exacte, car contrairement à la série A, où chaque taille est une copie à l'échelle de toutes les autres, A4 et Letter ne sont pas du tout des copies à l'échelle l'une de l'autre — ils sont deux formes différentes qui arrivent à être proches de la même taille.