Uma proporção que sobrevive ao ser cortada ao meio
Dobre uma folha A4 ao meio pela borda curta e o resultado é uma folha A5: mesma forma, metade da área. Dobre novamente e é A6, ainda com a mesma forma. Essa auto-similaridade não é uma coincidência dos números específicos 210 e 297 — é a propriedade definidora de toda a série A da ISO 216, e só funciona para uma razão de aspecto particular.
A derivação: por que √2 é a única razão que funciona
Seja uma folha com lado curto a e lado longo b, com razão de aspecto r = b/a. Corte-a ao meio pela borda longa: cada metade tem dimensões a (inalterada) e b/2. Para que a meia folha tenha a mesma forma da original, seu lado longo dividido pelo seu lado curto deve novamente ser igual a r. Como a > b/2 para qualquer razão menor que 2, o lado longo da meia folha agora é a e seu lado curto é b/2, dando uma nova razão de a ÷ (b/2) = 2a/b. Igualando isso à razão original:
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
Nenhuma outra razão se reproduz sob divisão ao meio. √2 ≈ 1,41421 é o ponto fixo único dessa operação, razão pela qual toda a série A — A0 até A10 — é uma única forma em todos os tamanhos, em vez de uma nova forma ter de ser escolhida em cada etapa.
A0: fixado por área, não por um comprimento memorizado
A ISO 216 define A0 por área, não por dimensões: exatamente 1 m², na razão √2. Resolvendo a × b = 1 com b = a√2 obtém-se a²√2 = 1, portanto a = 2−1/4 ≈ 0,840896 m e b = 21/4 ≈ 1,189207 m. Arredondado para o milímetro mais próximo, A0 é 841 × 1189 mm. Cada tamanho menor na série é gerado dividindo-se repetidamente o lado longo ao meio e arredondando para baixo até o milímetro, razão pela qual a área verdadeira de A4, 210 × 297 mm = 62.370 mm² (0,06237 m²), é muito ligeiramente menor que a "exata" 1/16 m² (0,0625 m²) que quatro divisões exatas sucessivas de 1 m² dariam: arredondar para um milímetro inteiro em cada etapa acumula uma pequena perda deliberada.
| Tamanho | Dimensões | Área |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1,000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0,500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0,249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0,125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0,0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0,0311 m² |
De uma carta de 1786 a um padrão de 1975
A propriedade √2 foi observada pelo menos já em 1786, em uma carta do físico alemão Georg Christoph Lichtenberg descrevendo exatamente essa razão auto-preservadora. Tornou-se um padrão de papel através de Walter Porstmann, que trabalhava no instituto de padrões de Berlim, cuja proposta se tornou o padrão alemão DIN 476 em 1922 — o ancestral direto do padrão internacional ISO 216, publicado pela primeira vez em 1975. A maioria do mundo usa tamanhos ISO 216 atualmente; a América do Norte é a exceção principal.
US Letter: uma forma sem tal derivação
US Letter é 8,5 × 11 pol, que é 215,9 × 279,4 mm. Sua razão é 11 ÷ 8,5 = 1,2941, bem longe de √2 (1,41421). Não há nenhuma derivação limpa equivalente por trás de 8,5 × 11: as dimensões descendem do tamanho das malhas de fabricação manual de papel em uso no período colonial americano e no início do federal, em vez de qualquer fórmula, e o tamanho foi formalmente fixado como padrão para documentos do governo dos EUA apenas em 1980, substituindo um formato ligeiramente diferente de "Government Letter" que havia sido usado em paralelo. Como a razão de Letter não é a auto-preservadora, dobrar ao meio não reproduz sua própria forma: metade de uma folha de 8,5 × 11 pol é 5,5 × 8,5 pol, uma razão de 8,5 ÷ 5,5 = 1,545 — uma terceira forma diferente novamente, não uma Letter em escala reduzida.
Séries B e C: a mesma ideia, deslocada
A ISO 216 também define uma série B e uma série C relacionada, ambas construídas sobre a lógica idêntica de √2. Cada tamanho B é a média geométrica do tamanho A correspondente e do próximo maior (B1 fica entre A1 e A0, e assim por diante), o que torna a série B útil para cartazes, passaportes e outros itens que precisam de um tamanho entre dois tamanhos A em vez de um que corresponda exatamente a uma folha A. A série C, definida em ISO 269, segue a mesma regra para produzir tamanhos de envelope: um envelope C4 (229 × 324 mm) é dimensionado para conter uma folha A4 desdobrada com uma pequena margem, e um envelope C5 contém uma folha A4 dobrada uma vez, ao meio. As três séries compartilham uma razão de aspecto precisamente porque essa razão é a única que permite que uma folha, um envelope e uma inserção dobrada fiquem proporcionalmente relacionados entre si.
A consequência da impressão
A4 é 8,268 × 11,693 pol; Letter é 8,5 × 11 pol. Os dois são próximos o suficiente para parecerem intercambiáveis e diferentes o suficiente para causar um problema real: Letter é mais largo (8,5 pol vs 8,268 pol) mas mais curto (11 pol vs 11,693 pol). Imprimir um documento A4 em 100% de escala em papel Letter corta aproximadamente 0,693 pol da parte inferior da página; imprimir um documento Letter em A4 deixa aproximadamente 0,693 pol de margem em branco na parte inferior. Cada opção "imprimir para caber" ou "dimensionar para página" em software de escritório existe largamente para contornar esse desajuste exato, porque diferentemente da série A, onde cada tamanho é uma cópia em escala de todos os outros, A4 e Letter não são cópias em escala uma da outra — elas são duas formas diferentes que acontecem estar próximas do mesmo tamanho.