紙張尺寸：A4、美國信紙與二的平方根

能在對半摺疊後仍保持形狀的比例

將A4紙張沿著短邊對摺，得到的是A5紙張：形狀相同，面積減半。再對摺一次，得到A6，形狀仍然相同。這種自相似性不是210和297這些特定數字的巧合—這是整個ISO 216 A系列的定義特性，而且只有一個特定的寬高比才能做到這一點。

推導過程：為什麼只有√2比例才能運作

設紙張的短邊為 a，長邊為 b，寬高比 r = b/a。沿長邊對摺：每一半的尺寸為 a（保持不變）和 b/2。為了使半張紙的形狀與原紙相同，其長邊除以短邊仍須等於 r。由於對於任何小於2的比例，a > b/2，所以半張紙的長邊是 a，短邊是 b/2，新的比例為 a ÷ (b/2) = 2a/b。令其等於原始比例：

2a/b = b/a  ⇒  2a² = b²  ⇒  b/a = √2

沒有其他比例能在對半摺疊時保持自身。√2 ≈ 1.41421 是此運算的唯一不動點，這就是為什麼整個A系列—從A0到A10—在每個尺寸下都是同一種形狀，而不需要在每一步選擇新的形狀。

A0：根據面積而非固定長度定義

ISO 216 根據面積而非尺寸定義A0：在√2比例下，面積正好為 1 m²。解方程 a × b = 1（其中 b = a√2），得 a²√2 = 1，因此 a = 2^−1/4 ≈ 0.840896 m，b = 2^1/4 ≈ 1.189207 m。四捨五入到最近的毫米，A0 為 841 × 1189 mm。系列中的每個較小尺寸是通過反覆對半摺疊長邊並四捨五入到毫米而生成的。這就是為什麼A4的實際面積（210 × 297 mm = 62,370 mm²，即0.06237 m²）略小於精確的1/16 m²（0.0625 m²）—後者是將1 m²連續精確對半四次所得：每一步的毫米舍入會積累一個微小的、刻意的損失。

從1786年的信件到1975年的標準

√2比例的性質至少在1786年就被注意到—德國物理學家喬治·克里斯托夫·李希滕貝格（Georg Christoph Lichtenberg）在一封信中描述了這種自保持的比例。瓦爾特·波茨曼（Walter Porstmann）在柏林標準化研究院工作時提出了這一想法，他的提案於1922年成為德國標準DIN 476—國際ISO 216標準的直接前身，首次發佈於1975年。今天世界上大多數地區都使用ISO 216尺寸；北美是主要的例外。

美國信紙：沒有此類數學推導的形狀

美國信紙為 8.5 × 11 英寸，即 215.9 × 279.4 mm。其比例為 11 ÷ 8.5 = 1.2941，遠不及√2（1.41421）。8.5 × 11 沒有類似的乾淨數學推導：這些尺寸源自美國殖民地時期和早期聯邦時期使用的手工製紙模具的尺寸，而不是任何公式。這個尺寸直到1980年才被正式確定為美國政府文件的標準，取代了之前並行使用的略有不同的「政府信紙」格式。由於信紙的比例不是自保持的，將其對半摺疊不會產生相同的形狀：8.5 × 11英寸紙張的一半是5.5 × 8.5英寸，比例為 8.5 ÷ 5.5 = 1.545—完全是第三種形狀，不是縮小版的信紙。

B系列和C系列：相同的概念，不同的位置

ISO 216 也定義了B系列和相關的C系列，兩者都基於相同的√2邏輯。每個B尺寸是相應A尺寸和下一個較大尺寸的幾何平均數（B1介於A1和A0之間，依此類推），這使得B系列對於海報、護照和其他需要介於兩個A尺寸之間但不完全匹配A紙的項目非常有用。C系列在ISO 269中定義，遵循相同的規則來生成信封尺寸：C4信封（229 × 324 mm）的尺寸能容納展開的A4紙張並留出小邊距，C5信封能容納對摺一次的A4紙張。正因為這個比例是唯一能讓紙張、信封和摺疊的插頁在比例上相互關聯的比例，所以所有三個系列都共享一個寬高比。

印刷上的後果

A4為 8.268 × 11.693 英寸；信紙為 8.5 × 11 英寸。這兩種尺寸足夠接近以至於看起來可以互換，但又足夠不同以至於造成真實的問題：信紙更寬（8.5英寸對8.268英寸）但更短（11英寸對11.693英寸）。以100%的比例將A4文件打印到信紙上會從頁面底部裁掉大約0.693英寸；將信紙文件打印到A4則會在底部留下大約0.693英寸的空白邊距。辦公軟體中的每一個「適應頁面」或「縮放頁面」選項的存在，在很大程度上是為了掩蓋這種確切的不匹配。因為與A系列不同（A系列中每個尺寸都是其他尺寸的縮放副本），A4和信紙根本不是相互的縮放副本—它們是恰好接近相同大小的兩種不同形狀。