Ein Seitenverhältnis, das beim Halbieren erhalten bleibt
Falten Sie ein A4-Blatt auf seiner kurzen Seite zusammen und das Ergebnis ist ein A5-Blatt: dieselbe Form, halbe Fläche. Falten Sie es erneut und es ist A6, immer noch die gleiche Form. Diese Selbstähnlichkeit ist nicht zufällig bei den spezifischen Zahlen 210 und 297 — sie ist die definierende Eigenschaft der gesamten ISO-216-A-Serie, und sie funktioniert nur bei genau einem bestimmten Seitenverhältnis.
Die mathematische Herleitung: Warum √2 das einzige funktionierende Verhältnis ist
Ein Blatt habe die kurze Seite a und die lange Seite b mit dem Seitenverhältnis r = b/a. Schneiden Sie es auf der langen Seite in der Mitte: Jede Hälfte hat die Abmessungen a (unverändert) und b/2. Damit die Halbblatt die gleiche Form wie das Original haben kann, muss das Verhältnis seiner langen Seite zu seiner kurzen Seite wieder gleich r sein. Da a > b/2 für jedes Verhältnis unter 2 gilt, ist die lange Seite des Halbenblatts jetzt a und die kurze Seite ist b/2, was ein neues Verhältnis von a ÷ (b/2) = 2a/b ergibt. Setzen Sie das gleich dem ursprünglichen Verhältnis:
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
Kein anderes Verhältnis reproduziert sich selbst beim Halbieren. √2 ≈ 1,41421 ist der eindeutige Fixpunkt dieser Operation, weshalb die gesamte A-Serie — von A0 bis A10 — in jeder Größe die gleiche Form aufweist, anstatt dass bei jedem Schritt eine neue Form gewählt werden muss.
A0: durch Fläche festgelegt, nicht durch eine auswendig gelernte Länge
ISO 216 definiert A0 durch die Fläche, nicht durch die Abmessungen: genau 1 m², beim √2-Verhältnis. Mit a × b = 1 und b = a√2 ergibt sich a²√2 = 1, also a = 2−1/4 ≈ 0,840896 m und b = 21/4 ≈ 1,189207 m. Gerundet auf den nächsten Millimeter ist A0 841 × 1189 mm. Jede kleinere Größe der Serie wird durch wiederholtes Halbieren der langen Seite und Abrunden auf den Millimeter erzeugt, weshalb A4s wahre Fläche, 210 × 297 mm = 62.370 mm² (0,06237 m²), sehr leicht unter den „genauen" 1/16 m² (0,0625 m²) liegt, die vier aufeinanderfolgende genaue Hälften von 1 m² ergeben würden: Das Abrunden auf einen ganzen Millimeter bei jedem Schritt führt zu einem winzigen, beabsichtigten Verlust.
| Format | Abmessungen | Fläche |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1,000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0,500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0,249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0,125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0,0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0,0311 m² |
Von einem Brief von 1786 zu einem Standard von 1975
Die √2-Eigenschaft war bereits 1786 bekannt, in einem Brief des deutschen Physikers Georg Christoph Lichtenberg, in dem er genau dieses selbsterhaltende Seitenverhältnis beschreibt. Es wurde ein Papierstandard durch Walter Porstmann, der am Berliner Normungsinstitut arbeitete, dessen Vorschlag 1922 der deutschen Standard DIN 476 wurde — der direkte Vorläufer des internationalen ISO-216-Standards, der 1975 erstmals veröffentlicht wurde. Die meiste Welt nutzt heute ISO-216-Formate; Nordamerika ist die große Ausnahme.
US Letter: ein Format ohne solche mathematische Herleitung
US Letter ist 8,5 × 11 Zoll, was 215,9 × 279,4 mm entspricht. Sein Seitenverhältnis ist 11 ÷ 8,5 = 1,2941, weit entfernt von √2 (1,41421). Es gibt keine vergleichbar saubere mathematische Herleitung für 8,5 × 11: Die Abmessungen stammen von der Größe handwerklicher Papierherstellungsformen ab, die in der amerikanischen Kolonial- und frühen Bundeszeit in Gebrauch waren, anstatt aus einer Formel, und die Größe wurde erst 1980 formal als Standard für US-Regierungsdokumente festgelegt, wodurch das leicht unterschiedliche „Government Letter"-Format ersetzt wurde, das in Parallelgebrauch war. Da Letters Seitenverhältnis nicht das selbsterhaltende ist, erzeugt das Falten in der Mitte nicht seine eigene Form: Die Hälfte eines 8,5 × 11-Zoll-Blatts ist 5,5 × 8,5 Zoll, ein Seitenverhältnis von 8,5 ÷ 5,5 = 1,545 — wiederum eine dritte, völlig andere Form, keine verkleinerte Letter.
B- und C-Serie: dieselbe Idee, verschoben
ISO 216 definiert auch eine B-Serie und eine verwandte C-Serie, beide basieren auf der identischen √2-Logik. Jede B-Größe ist das geometrische Mittel der entsprechenden A-Größe und der nächst größeren (B1 liegt zwischen A1 und A0, usw.), wodurch die B-Serie nützlich ist für Plakate, Pässe und andere Gegenstände, die eine Größe zwischen zwei A-Größen benötigen, anstatt die exakt einem A-Blatt entspricht. Die C-Serie, definiert in ISO 269, folgt der gleichen Regel, um Briefumschlaggrößen zu erzeugen: Ein C4-Umschlag (229 × 324 mm) ist dimensioniert, um ein gefaltetes A4-Blatt mit kleinem Rand zu halten, und ein C5-Umschlag hält ein A4-Blatt einmal halbiert gefaltet. Alle drei Serien teilen ein Seitenverhältnis, genau weil dieses Verhältnis das einzige ist, das es einem Blatt, einem Umschlag und einem gefalteten Einlage ermöglicht, alle proportional zueinander verbunden zu bleiben.
Die Druckfolge
A4 ist 8,268 × 11,693 Zoll; Letter ist 8,5 × 11 Zoll. Die beiden sind sich ähnlich genug, um austauschbar auszusehen, und unterschiedlich genug, um ein echtes Problem zu verursachen: Letter ist breiter (8,5 Zoll vs. 8,268 Zoll), aber kürzer (11 Zoll vs. 11,693 Zoll). Das Drucken eines A4-Dokuments mit 100% Skalierung auf Letter-Papier schneidet etwa 0,693 Zoll vom unteren Seitenrand ab; Das Drucken eines Letter-Dokuments auf A4 hinterlässt stattdessen etwa 0,693 Zoll leeren Rand am unteren Rand. Jede „Skalierung anpassen"- oder „An Seite anpassen"-Option in Officeprogrammen existiert größtenteils, um genau diesen Größenunterschied zu überbrücken, denn im Gegensatz zur A-Serie, wo jede Größe eine skalierte Kopie aller anderen ist, sind A4 und Letter nicht skalierte Kopien voneinander — sie sind zwei verschiedene Formen, die zufällig fast die gleiche Größe haben.