Ein Konverter kann nicht wissen, wie präzise Ihre Eingabe war
Geben Sie "12,5" in einen Einheitenkonverter ein, und er multipliziert mit einem gespeicherten Faktor, der auf 15 bis 16 Ziffern mit Doppelpräzisions-Genauigkeit berechnet ist, und gibt dann ein Ergebnis mit mehreren Dezimalstellen zurück. An dieser Berechnung ist nichts falsch. Das Problem kann darin bestehen, die Ausgabe als zuverlässiger als die Eingabe zu behandeln, da ein Konverter nicht wissen kann, ob "12,5" genau 12,500000… bedeutet oder eine Messung mit dem Stahllineal ist, die nur auf drei signifikante Ziffern genau ist. Die eigene Seite Methodologie gibt die Anzeigeregel an – bis zu 8 Dezimalstellen, nachfolgende Nullen entfernt, wissenschaftliche Schreibweise außerhalb von ungefähr 1e-6 bis 1e9. Das ist eine Formatierungsregel. Sie sagt nichts darüber aus, welche dieser angezeigten Ziffern für eine bestimmte Eingabe aussagekräftig sind, das ist ein Urteil, das nur die Person mit der ursprünglichen Messung treffen kann.
Was "signifikante Ziffern" wirklich bedeuten
Eine signifikante Ziffer ist eine Ziffer, die echte Informationen über eine gemessene Größe trägt, im Gegensatz zu einer Ziffer, die nur die Größenordnung der Zahl angibt. In 0,0250 sind die zwei führenden Nullen nicht signifikant – sie platzieren nur den Dezimalpunkt – aber die nachfolgende Null nach der 5 ist signifikant, da jemand sich bewusst für diese Schreibweise entschieden hat, was bedeutet, dass der Wert bis zur vierten Ziffer bekannt ist und nicht etwa 0,02 mit ungefährter Rundung. Dies ist auch, wo Mehrdeutigkeit ohne Dezimalschreibweise auftritt: "200 kg" könnte auf drei signifikante Ziffern genau bekannt sein, oder eine grobe Schätzung mit nur einer bekannten Ziffer. Die wissenschaftliche Notation beseitigt die Mehrdeutigkeit sofort – 2 × 10² kg gegenüber 2,00 × 10² kg können nicht falsch gelesen werden.
Zwei verschiedene Regeln, je nach Operation
Das Kombinieren von Messwerten verliert auf unterschiedliche Weise an Genauigkeit, je nachdem ob die Operation multiplikativ oder additiv ist, und die Anwendung der falschen Regel ist ein häufiger Fehler:
- Multiplikation und Division (was jede Einheitenumrechnung ist): Das Ergebnis hat nicht mehr signifikante Ziffern als die am wenigsten genaue Eingabe. Die Umrechnung einer Länge, die auf 3 signifikante Ziffern bekannt ist, in eine andere Einheit lässt Sie mit 3 signifikanten Ziffern echter Information, unabhängig davon, wie viele Ziffern die Berechnung erzeugt.
- Addition und Subtraktion: Das Ergebnis hat nicht mehr Dezimalstellen als die am wenigsten genaue Eingabe, unabhängig von der Anzahl der signifikanten Ziffern. 12,5 m + 0,084 m ist auf eine Dezimalstelle durch den ersten Term begrenzt, was 12,6 m ergibt, nicht 12,584 m.
Eine Einheitenumrechnung ist immer der erste Fall: Wert × Faktor. Die Genauigkeit des Faktors selbst ist auch wichtig, das ist, wo "exakt per Definition" von Bedeutung wird.
Exakte Faktoren kosten Sie keine signifikanten Ziffern; gemessene tun dies
Die Multiplikation mit einem exakten Umrechnungsfaktor – 1 Zoll = 2,54 cm exakt, 1 lb = 0,45359237 kg exakt – verschlechtert die Genauigkeit nicht, da eine exakt per Definition definierte Zahl keine eigene Unsicherheit mit sich bringt; jede Ziffer des Faktors ist verfügbar, wenn Sie sie benötigen. Ein gemessener Umrechnungsfaktor ist anders: Vor der Neudefinition des Meters im Jahre 1983 in Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit war die Lichtgeschwindigkeit selbst eine gemessene Größe mit einer experimentellen Unsicherheit, und jede Berechnung mit ihr erbte diese Unsicherheit auf die gleiche Weise wie sie es von einer gemessenen Länge erben würde. Nach 1983 ist die Lichtgeschwindigkeit durch Definition auf genau 299.792.458 m/s festgelegt und trägt null zusätzliche Unsicherheit zu irgendetwas, das daraus berechnet wird. Die Lektion verallgemeinert sich: Der begrenzende Faktor in der Genauigkeit einer Umrechnung ist fast immer die gemessene Eingabe, nicht die gespeicherte Konstante, vorausgesetzt, die Konstante ist wirklich exakt. Wo diese Seite einen nicht-exakten, kontextabhängigen Wert verwendet – der Kohlenstoffemissionsfaktor, der auf der Methodologie-Seite dokumentiert ist, ist das deutlichste Beispiel – dieser Wert, nicht die Berechnung, ist die echte Genauigkeitsgrenze.
Praktisches Beispiel: Umrechnung einer Raummessung
Ein Raum, gemessen mit einem Stahllineal mit 12,5 ft mal 10,25 ft – drei und vier signifikante Ziffern jeweils, typisch für ein Stahllineal, das auf das nächste Viertelzoll auf einer längeren Wand gelesen wird und eine kürzere, die etwas sorgfältiger gemessen wurde. Umrechnung jeder Seite in Meter unter Verwendung des exakten Faktors 1 ft = 0,3048 m:
| Messung | Sig figs | Rohprodukt | Korrekt gerundet | Falsch präzise (typische Rechner-Anzeige) |
|---|---|---|---|---|
| 12,5 ft × 0,3048 | 3 | 3,81 m | 3,81 m | 3,81000000 m |
| 10,25 ft × 0,3048 | 4 | 3,1242 m | 3,124 m | 3,12420000 m |
| Fläche: 3,81 m × 3,124 m | 3 (begrenzt durch die 3-sig-fig-Seite) | 11,90244 m² | 11,9 m² | 11,90244000 m² |
Die Flächenzahl ist die wichtige: Ein Rechner wird glücklich 11,90244 m² anzeigen, eine achtziffrige Genauigkeit, geerbt aus nichts anderem als Fließkomma-Arithmetik, die keine Meinung über Messqualität hat. Das Stahllineal unterstützte nie mehr als drei signifikante Ziffern bei seiner kürzeren Ablesung, also ist die ehrliche Antwort 11,9 m² – die anderen fünf Ziffern sind Rechnerausrauschen, keine Information über den Raum.
Wo sich Fehler wirklich verstärken: Verkettete Umrechnungen
Eine einzelne Multiplikation mit einem exakten Faktor fügt keinen Fehler hinzu. Eine Kette von Umrechnungen kann trotzdem an Genauigkeit verlieren, aber der Mechanismus ist Rundung bei Zwischenschritten, nicht die Umrechnungen selbst. Umrechnung von 12,5 ft in Meter, Rundung dieses Ergebnisses auf 3,81 m, dann Umrechnung von 3,81 m in Millimeter ergibt 3.810 mm – und sieht identisch aus mit der direkten Umrechnung von 12,5 ft in Millimeter (3.810,0 mm), da in diesem Fall die Zwischenrundung zufällig auf eine runde Zahl fiel. Es funktioniert nicht immer so sauber: Rundung von 10,25 ft zu Meter auf 2 Dezimalstellen erste (3,12 m, wobei der echte 3,1242 m fallen gelassen wird), dann Umrechnung dieser gerundeten Zahl weiter zur Berechnung der Fläche mit der 3,81 m Seite, und die Fläche kommt auf 3,81 × 3,12 = 11,8872 m² – eine andere vierte signifikante Ziffer als die 11,90244 m² durch Führung voller Genauigkeit und Rundung nur einmal am Ende. Keine der Zahlen ist "mehr falsch" in absoluten Sinne auf 3 signifikante Ziffern (11,9 m² in beiden Fällen), aber die Abweichung wächst mit jedem zusätzlichen gerundeten Zwischenschritt in einer längeren Kette, was genau der Grund ist, warum diese Seite jeden Faktor mit voller Fließkomma-Genauigkeit speichert und nur beim finalen Anzeigeschritt rundet, nie dazwischen.
Die praktische Regel
Führen Sie volle Genauigkeit durch jeden Zwischenschritt einer Berechnung und runden Sie genau einmal am Ende auf die Anzahl signifikanter Ziffern, die Ihre am wenigsten genaue Eingabe wirklich unterstützt. Ein Konverter, der acht Dezimalstellen anzeigt, behauptet nicht, dass acht Dezimalstellen reale Genauigkeit für Ihre spezifische Eingabe besitzt – er weigert sich einfach zu erraten, wie viele dieser Ziffern Sie benötigen, das ist ein Urteil, das Sie zu treffen haben, nicht das Werkzeug.