Una relación que sobrevive siendo cortada por la mitad
Dobla una hoja A4 por la mitad a lo largo de su lado corto y el resultado es una hoja A5: la misma forma, la mitad del área. Dóblala de nuevo y es A6, todavía la misma forma. Esa autosimilitud no es una coincidencia de los números específicos 210 y 297 — es la propiedad definitoria de toda la serie A de ISO 216, y solo funciona para una relación de aspecto particular.
La derivación: por qué √2 es la única relación que funciona
Sea una hoja con lado corto a y lado largo b, con relación de aspecto r = b/a. Córtala por la mitad a lo largo del lado largo: cada mitad tiene dimensiones a (sin cambios) y b/2. Para que la mitad de la hoja tenga la misma forma que la original, su lado largo dividido entre su lado corto debe nuevamente ser igual a r. Como a > b/2 para cualquier relación menor que 2, el lado largo de la mitad es ahora a y su lado corto es b/2, dando una nueva relación de a ÷ (b/2) = 2a/b. Igualando esto a la relación original:
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
Ninguna otra relación se reproduce a sí misma al ser dividida por la mitad. √2 ≈ 1,41421 es el punto fijo único de esta operación, por lo que toda la serie A — de A0 a A10 — tiene una sola forma en cada tamaño, en lugar de tener que elegir una forma nueva en cada paso.
A0: fija por área, no por una longitud memorizada
ISO 216 define A0 por área, no por dimensiones: exactamente 1 m², con la relación √2. Resolviendo a × b = 1 con b = a√2 se obtiene a²√2 = 1, por lo que a = 2−1/4 ≈ 0,840896 m y b = 21/4 ≈ 1,189207 m. Redondeado al milímetro más cercano, A0 es 841 × 1189 mm. Cada tamaño más pequeño en la serie se genera dividiendo repetidamente el lado largo por la mitad y redondeando hacia abajo al milímetro, por lo que el área real de A4, 210 × 297 mm = 62.370 mm² (0,06237 m²), es muy ligeramente inferior al «exacto» 1/16 m² (0,0625 m²) que darían cuatro divisiones por la mitad exactas sucesivas de 1 m²: el redondeo a un milímetro completo en cada paso acumula una pequeña pérdida deliberada.
| Tamaño | Dimensiones | Área |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1,000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0,500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0,249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0,125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0,0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0,0311 m² |
De una carta de 1786 a un estándar de 1975
La propiedad √2 fue observada al menos ya en 1786, en una carta del físico alemán Georg Christoph Lichtenberg describiendo exactamente esta relación autoperservante. Se convirtió en un estándar de papel a través de Walter Porstmann, trabajando en el instituto de normas de Berlín, cuya propuesta se convirtió en el estándar alemán DIN 476 en 1922 — el antepasado directo del estándar internacional ISO 216, publicado por primera vez en 1975. La mayoría del mundo usa tamaños ISO 216 hoy en día; América del Norte es la excepción importante.
US Letter: una forma sin tal derivación
US Letter es 8,5 × 11 pulgadas, que es 215,9 × 279,4 mm. Su relación es 11 ÷ 8,5 = 1,2941, muy lejos de √2 (1,41421). No hay una derivación clara equivalente detrás de 8,5 × 11: las dimensiones descienden del tamaño de los marcos para fabricación manual de papel utilizados en el período colonial estadounidense y principios del período federal, en lugar de derivar de cualquier fórmula, y el tamaño solo fue formalmente establecido como estándar para documentos del gobierno estadounidense en 1980, reemplazando un formato «Government Letter» ligeramente diferente que había estado en uso paralelo. Debido a que la relación de Letter no es la autoperservante, doblarla por la mitad no reproduce su propia forma: la mitad de una hoja de 8,5 × 11 pulgadas es 5,5 × 8,5 pulgadas, una relación de 8,5 ÷ 5,5 = 1,545 — una tercera forma diferente nuevamente, no una Letter a escala reducida.
Series B y C: la misma idea, desplazada
ISO 216 también define una serie B y una serie C relacionada, ambas construidas sobre la lógica idéntica de √2. Cada tamaño B es la media geométrica del tamaño A correspondiente y el siguiente más grande (B1 se sitúa entre A1 y A0, y así sucesivamente), lo que hace que la serie B sea útil para pósters, pasaportes y otros artículos que necesitan un tamaño entre dos tamaños A en lugar de uno que coincida exactamente con una hoja A. La serie C, definida en ISO 269, sigue la misma regla para producir tamaños de sobres: un sobre C4 (229 × 324 mm) está dimensionado para sostener una hoja A4 sin doblar con un pequeño margen, y un sobre C5 sostiene una hoja A4 doblada una vez, por la mitad. Las tres series comparten una relación de aspecto precisamente porque esa relación es la única que permite que una hoja, un sobre y un inserto doblado mantengan su relación proporcional entre sí.
La consecuencia de impresión
A4 es 8,268 × 11,693 pulgadas; Letter es 8,5 × 11 pulgadas. Los dos son lo suficientemente cercanos para parecer intercambiables y lo suficientemente diferentes para causar un problema real: Letter es más ancho (8,5 pulgadas vs 8,268 pulgadas) pero más corto (11 pulgadas vs 11,693 pulgadas). Imprimir un documento A4 a escala del 100% en papel Letter recorta aproximadamente 0,693 pulgadas de la parte inferior de la página; imprimir un documento Letter en A4 deja aproximadamente 0,693 pulgadas de margen en blanco en la parte inferior en su lugar. Todas las opciones «imprimir para ajustar» o «escalar a página» en software de oficina existen en gran medida para disimular esta falta de coincidencia exacta, porque a diferencia de la serie A, donde cada tamaño es una copia a escala de todos los demás, A4 y Letter no son copias a escala entre sí en absoluto — son dos formas diferentes que resultan estar cerca del mismo tamaño.