半分に切られても保存される比率
A4用紙を短辺で折ると、その結果はA5用紙になります。同じ形で面積は半分になります。もう一度折るとA6になり、やはり同じ形のままです。この自己相似性は210と297という特定の数字の偶然ではなく、ISO 216 A系列全体の定義上の特性であり、特定の1つのアスペクト比でのみ機能します。
導出：√2が唯一機能する比率である理由
シートの短辺をa、長辺をbとし、アスペクト比をr = b/aとします。長辺で折ります。各半分は寸法a（変わらない）とb/2を持ちます。半分になったシートが元のシートと同じ形であるためには、その長辺を短辺で割ったものが再びrに等しくなければなりません。2より小さい比率ではa > b/2であるため、半分になったシートの長辺はaで、短辺はb/2になり、新しい比率はa ÷ (b/2) = 2a/bになります。これを元の比率と等しく設定すると：
2a/b = b/a ⇒ 2a² = b² ⇒ b/a = √2
他のどの比率も折ることで自らを再現することはありません。√2 ≈ 1.41421はこの操作の唯一の不動点であり、この理由により、A系列全体（A0からA10まで）はすべてのサイズで同じ形をしていて、各段階で新しい形を選ぶ必要がなくなっています。
A0：寸法ではなく面積により固定される
ISO 216はA0を寸法ではなく面積で定義しています。正確に1 m²で、√2の比率です。a × b = 1という条件と、b = a√2という条件から、a²√2 = 1を得られ、したがってa = 2−1/4 ≈ 0.840896 mで、b = 21/4 ≈ 1.189207 mとなります。最も近いミリメートルに四捨五入すると、A0は841 × 1189 mmです。シリーズ内の小さいサイズはすべて、長辺を繰り返し半分にし、最も近いミリメートルに四捨五入することで生成されます。これが理由で、A4の真の面積である210 × 297 mm = 62,370 mm²（0.06237 m²）は、1 m²を4回正確に半分にした場合の「正確な」1/16 m²（0.0625 m²）よりもわずかに小さくなります。各ステップでミリメートル単位に四捨五入することで、ごくわずかな、意図的な損失が蓄積されるのです。
| サイズ | 寸法 | 面積 |
|---|---|---|
| A0 | 841 × 1189 mm | 1.000 m² |
| A1 | 594 × 841 mm | 0.500 m² |
| A2 | 420 × 594 mm | 0.249 m² |
| A3 | 297 × 420 mm | 0.125 m² |
| A4 | 210 × 297 mm | 0.0624 m² |
| A5 | 148 × 210 mm | 0.0311 m² |
1786年の手紙から1975年の標準へ
√2の特性は少なくとも1786年にまで遡ります。ドイツの物理学者ゲオルク・クリストフ・リヒテンベルクからの手紙で、まさにこの自己保存型の比率について説明されています。これは、ベルリンの標準化機関で働いていたヴァルター・ポルストマンを通じて紙の標準になりました。彼の提案が1922年のドイツ標準DIN 476になり、それが国際的なISO 216標準の直接の前身となり、1975年に最初に発行されました。世界の大部分は今日ISO 216サイズを使用しており、北米が主な例外です。
米国レター：そのような導出のない形状
米国レターサイズは8.5 × 11インチで、215.9 × 279.4 mmです。その比率は11 ÷ 8.5 = 1.2941で、√2（1.41421）からはほど遠い値です。8.5 × 11に対するのと同等の明確な導出はありません。これらの寸法はアメリカの植民地時代及び初期連邦時代に使用されていた手漉き紙の型のサイズからの系統であり、公式には1980年にアメリカ合衆国政府文書の標準として正式に固定されました。これまでは、わずかに異なる「政府レター」形式が並行使用されていました。レターの比率が自己保存型ではないため、半分に折っても独自の形を再現しません。8.5 × 11インチのシートの半分は5.5 × 8.5インチで、比率は8.5 ÷ 5.5 = 1.545です。これは3番目の全く異なる形で、レターをスケールダウンしたものではありません。
BシリーズとCシリーズ：同じ考え方をシフトさせたもの
ISO 216はBシリーズと関連するCシリーズも定義しており、両方とも同一の√2ロジックに基づいて構築されています。各Bサイズは対応するAサイズとその次に大きいサイズの幾何平均です（B1はA1とA0の間に位置します）。これはBシリーズをポスター、パスポート、およびAシートと完全に一致するのではなく、2つのAサイズ間のサイズが必要な他のアイテムに役立たせます。CシリーズはISO 269で定義されており、同じルールに従ってエンベロープサイズを生成します。C4エンベロープ（229 × 324 mm）は、小さなマージンがある折られていないA4シートを保持するようにサイズ設定されており、C5エンベロープは折られたA4シート（半分）を保持します。3つのシリーズはすべて1つのアスペクト比を共有しています。これは、シート、エンベロープ、および折られた挿入がすべて比例関係を保つことができる唯一の比率だからです。
印刷の結果
A4は8.268 × 11.693インチで、レターは8.5 × 11インチです。この2つは十分に似ているように見えて、同時に十分に異なるため、実際の問題を引き起こします。レターの方が広い（8.5インチ対8.268インチ）ですが、より短い（11インチ対11.693インチ）のです。A4ドキュメントを100%スケールでレター用紙に印刷すると、ページの下部から約0.693インチがクロップされます。レタードキュメントをA4に印刷すると、代わりに下部に約0.693インチの空白余白が残ります。オフィスソフトウェアの「ページに合わせて印刷」または「ページにスケール」オプションは、この正確なミスマッチに対処するために主に存在しており、A系列ではすべてのサイズが他のすべてのサイズのスケール化されたコピーであるのに対し、A4とレターはまったく互いのスケール化されたコピーではありません。それらは同じ程度のサイズになる傾向がある2つの異なる形状です。